CIRCUNFERENCIA

Hay un caso particular de circunferencia, que tiene su centro en el origen. La ecuación que la define se llama ecuación canónica de la circunferencia:
$$x^2+y^2=r^2$$
Si la circunferencia no está centrada en el $\left(0,0\right)$
, es posible armar un nuevo sistema de modo tal que el centro de la circunferencia coincida con el nuevo origen de coordenadas. Por ejemplo consideremos:
$${\left(x–\alpha \right)}^2+{\left(y–\beta \right)}^2=r^2$$
Si hacemos un cambio de variables:
$$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x–\alpha \\ y^{\prime }=y–\beta \end{array}$$
En las nuevas variables la ecuación queda expresada en forma canónica:
$$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=r^2$$
Para obtener la ecuación canónica, hicimos una traslación de ejes, de modo que el centro del nuevo sistema coincidiera con el centro de la circunferencia:

Ejemplo

Encuentre la ecuación de una circunferencia si los extremos de uno de sus diámetros son $P\left(4,–3\right)$
y $Q\left(–2,7\right)$.
Conociendo los extremos de un diámetro, ¿cómo obtendrían el centro? ¿Y el radio?

Resolución

Como el segmento $PQ$
es un diámetro, el centro es el punto medio de este segmento. Y el radio es la mitad de la distancia entre $PyQ$:

$$C=\left(\frac{4+\left(–2\right)}{2},\frac{–3+7}{2}\right)=\left(1,2\right)$$
$$\overrightarrow{PQ}=\left(–6,10\right)\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=2\sqrt{34}$$
$$radio=\sqrt{34}$$
Entonces ya tenemos las coordenadas del centro, y tenemos el radio. Basta con reemplazar en la ecuación ordinaria para obtener la ecuación de esta circunferencia:
$${\left(x–1\right)}^2+{\left(y–2\right)}^2=34$$
La gráfica es: